İRRASYONEL

√ 2 SAYISININ İRRASYONEL OLDUĞUNUN İSPATI 

     Olmayan ergi yöntemini kullanarak √ 2'nin irrasyonel olduğunu ispatlayalım.

√ 2'nin irrasyonel bir sayı olduğunu varsayalım.

Rasyonel sayının tanımına ve yaptığımız varsayıma göre, tam sayılar kümesinde

    √ 2=a/b

eşitliğini sağlayan, aralarında asal a ve b gibi iki sayı bulunmaktadır.

Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının da karesini alırsak, a^2 ile b^2 arasında aşağıdaki ilişkiyi buluruz.

      2=a^2/b^2

    2.b^2=a^2

Bu ilişkiden a^2'nin çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz. Çünkü a^2, 2 ile bir tam sayının çarpına eşittir. Başka bir değişle, a^2'nin çarpanlarından biri 2'dir. Ayrıca a^2 bir tam kare olduğu için, çarpanlarına ayrıldığında 2'nin kuvvetinin en az 2'ye eşit olması gerekir. Bu nedenle, yalnız a^2 değil, aynı zamanda a da bir çift sayı olmalıdır.

Çift olduğu için a'yı bir tam sayı ile 2'nin çarpımı şeklinde yazabiliriz. c bir tam sayı olmak üzere, a yerine

     a=2.c

yazarsak,

     

     2.b^2=4.c^2

     b^2=2.c^2

eşitliğini elde ederiz. a^2 gibi, b^2'nin de bir tam sayı ile 2'nin çarpımı olduğunu görüyoruz.

a için takip ettiğimiz adımları, b için uygularsak, b'nin de bir çift sayı olduğunu görebiliriz. Hem a Hem de b çift sayı olduğuna göre aralarında asal olamazlar. Dolayısıyla √ 2'yi

    √ 2=a/b

formunda yazabileceğimiz aralarında asal a ve b tam sayıları bulunmamaktır. Bu nedenle√ 2 rasyonal bir sayı değildir.